Парадокс Монті Голла
Привіт! Сьогодні розберемо одну з найбільш «підступних» задач у математиці. Вона свого часу змусила помилитися навіть професорів та лауреатів Нобелівської премії. Хоча на перший погляд здається, що тут все вирішує звичайне везіння.
Це — Парадокс Монті Голла.
Сцена: Шоу, двері та кози
Уявіть, що ви на суперпопулярному телешоу. Перед вами три зачинені двері:
За одними захована крута автівка.
За двома іншими — звичайні кози.
Ваша мета — вгадати, де машина. Ви обираєте двері, скажімо, №1.
Тут у гру вступає ведучий, Монті Голл. Він точно знає, що де лежить. Замість того, щоб відкрити ваші двері, він відкриває одні з тих, що залишилися — наприклад, №3, — і показує там... козу 🐐.
Тепер Монті з хитрою посмішкою запитує: «Чи не бажаєте ви змінити свій вибір і замість дверей №1 обрати двері №2?»
Що підказує нам інтуїція?
Більшість людей думає так: «Ну, лишилося двоє дверей. За одними машина, за іншими — коза. Шанси тепер 50 на 50. Немає сенсу змінювати рішення, це нічого не дасть».
Логічно? Ні. І ось тут математика каже нам: «Стоп! Змінюйте двері негайно!».
Парадокс Монті Голла —
одна з відомих задач теорії ймовірностей, розв'язок якої, на перший погляд, суперечить здоровому глузду. Задача формулюється як опис гіпотетичної гри, заснованої на американському телешоу «Let's Make a Deal». Ця задача названа на честь ведучого цієї передачі Монті Голла. Найбільш розповсюджена версія гри була опублікована в 1990 році в журналі Parade Magazine.
Чому зміна дверей подвоює ваші шанси?
Давайте відкинемо емоції та подивимося на цифри. Коли ви робили свій перший вибір, ймовірність вгадати машину була 1/3 (33,3%). А ймовірність того, що ви помилилися і обрали козу — 2/3 (66,7%). Тобто ви майже напевно помилилися на старті.
Давайте порахуємо «на пальцях». Припустимо, ви завжди обираєте двері №1 і завжди змінюєте свій вибір після того, як Монті відкриває козу. Оскільки машина може бути за будь-якими з трьох дверей з однаковою ймовірністю, у нас є три можливі ситуації:
Сценарій 1: Машина насправді за дверима №1. Ви вгадали відразу (ймовірність 1/3). Монті показує козу за дверима №2 або №3. Ви змінюєте свій вибір на ті двері, що залишилися — і програєте.
Сценарій 2: Машина насправді за дверима №2. Ваш початковий вибір (№1) — це коза. Монті зобов'язаний відкрити двері з іншою козою, тобто №3. Єдині зачинені двері, що лишилися — це №2. Ви змінюєте вибір — і виграєте!.
Сценарій 3: Машина насправді за дверима №3. Ваш початковий вибір (№1) — знову коза. Монті зобов'язаний показати козу за дверима №2. Лишаються лише двері №3. Ви змінюєте вибір — і виграєте!.
Підсумок: Як бачите, стратегія «змінити вибір» приносить перемогу у 2 випадках з 3. Ви програєте лише тоді, коли спочатку ідеально влучили в машину, але шанс на це був лише 33,3%. В інших 66,7% випадків ведучий своєю дією фактично «підказує» вам, де заховано приз.
Чому це парадокс?
Парадокс у тому, що наш мозок сприймає ситуацію з двома дверима як нову гру, де все починається з нуля. Але насправді це продовження першої гри. Монті Голл не просто відкрив двері, він надав вам нову інформацію. Він «відфільтрував» одну помилку, сконцентрувавши весь ваш початковий шанс на невдачу (ті самі 2/3) в одних-єдиних дверях, що залишилися.
Висновок для життя
Математика вчить нас, що інтуїція — це круто, але іноді вона нас підводить. Коли з’являються нові дані, не бійтеся змінювати своє рішення. В теорії ймовірностей це не ознака невпевненості, а ознака того, що ви вмієте рахувати.
Коментарі
Дописати коментар